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Hola, Sofi:
He tenido algunos problemas con esto. Por los 2 métodos se llega a resultados aparentemente distintos (en la forma de expresarlos), pero el resultado numérico es exactamente el mismo (= 4,89898), lo que parecería indicar que ambos resultados son correctos. No he encontrado errores en ninguna de las 2 resoluciones, pero tampoco encuentro el modo de demostrar matemáticamente que las 2 expresiones son iguales. Estoy cansada y con los ojos arruinados (la pantalla me mata). No cierres esta pregunta, por favor. Más tarde veré si puedo solucionar el enigma.
ODIO que no tengas la solución de estos ejercicios. Esa simple tontería me hace perder un montón de tiempo inútilmente.
(Si quieres, puedes preguntarle tú misma a tu profesora. Puedes decirle que se te ocurrió resolver el ejercicio por dos caminos y que no sabes cuál de las dos soluciones es la correcta (o si las dos lo son). Fíjate qué te dice. No confío mucho en ella, pero... a lo mejor, ayuda.)
..........................................
1° MÉTODO
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Tu ejercicio es:
........ 2 .................... 2
----------------- + ---------------- =
..... _____ ............ _____
... √2 + √3 .......... √2 - √3
Igual que si se tratara de una suma 'común' de fracciones 'comunes', para sumar estas 2 fracciones hay que expresarlas con un denominador común.
Puedes olvidarte un segundo de las raíces e imaginar este ejercicio como:
... 2 .......... 2
-------- + --------- =
.. ⓐ ......... ⓑ
Simplemente, para sumar estas 2 fracciones las expresamos con un denominador común ⓐⓑ:
.. 2ⓑ ........ 2ⓐ
---------- + --------- =
.. ⓐⓑ....... ⓐⓑ
Hagamos esto mismo en este ejercicio, en el que:
......... _____
ⓐ = √2 + √3
......... _____
ⓑ = √2 - √3
Para hallar el denominador común multipliquemos los 2 denominadores entre sí:
................................. _____ ..... _____
• Denominador ➜ (√2 + √3) · (√2 - √3 ) =
Y ahora ajustemos los numeradores de los 2 sumandos para ponerlos como único numerador de una fracción con este denominador común:
................ _____ .............. _____
...... [2 · (√2 - √3 )] + [2 · (√2 + √3 )]
= ----------------------- ----------------------- =
................. _____ ...... _____
.............. (√2 + √3) · (√2 - √3 )
.............. _____ ........... _____
........ [2(√2 - √3 )] + [2(√2 + √3 )]
= ---------------------- -------------------- =
............... _____ ...... _____
............ (√2 + √3) · (√2 - √3 )
........... _____ ......... _____
...... 2(√2 - √3 ) + 2(√2 + √3 )
= ------------------ ------------------- = ......... expresión ①
............. _____ ...... _____
.......... (√2 + √3) · (√2 - √3 )
En el numerador hay una suma de raíces de distinto radicando, o sea, no se puede reducir más. Ahora operemos en el denominador.
• Denominador:
El producto de 2 radicales es igual al radical del producto de los radicandos:
............... _____ ...... _____
............ (√2 + √3) · (√2 - √3 ) =
.... ______________
= √(2 + √3) · (2 - √3) =
Dentro de la raíz más grande hay un producto de binomios conjugados, es decir, tenemos el producto de una suma por una diferencia.
Como ya vimos en ejercicios anteriores, el producto de la suma de 2 términos por la diferencia de esos 2 términos es la diferencia de los cuadrados de esos términos.
En forma genérica:
(A + B) · (A - B) = A² - B²
En este ejercicio los 2 términos son:
A = 2
B = √3
Por lo tanto:
.... ______________
= √(2 + √3) · (2 - √3) = (2)² - (√3)² =
Al resolver los cuadrados, se elimina la raíz:
= 4 - 3 =
= 1
El denominador ha quedado reducido a 1, por lo tanto, reemplazando en la expresión ①, nos queda:
............ _____ ........ _____
....... 2(√2 - √3) + 2(√2 + √3)
= --------------------------------------- = ....... expresión ①
............ _____ ...... _____
......... (√2 + √3) · (√2 - √3)
....... _____ ......... _____
= 2(√2 - √3) + 2(√2 + √3)]
_______________________
| ....... _____ ........ _____ .... |
| = 2(√2 - √3) + 2(√2 + √3)] .. | ◄
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Si quieres, puedes sacar 2 como factor común en el numerador y el resultado final de este ejercicio queda expresado así:
______________________
| ........ _____ ...... _____ ... |
| = 2[(√2 - √3) + (√2 + √3)] ..| ◄
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2° MÉTODO
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Tu ejercicio es:
........ 2 ..................... 2
------------------ + ------------------ =
..... ______ ........... ______
... √2 + √3 ........... √2 - √3
Se puede tomar cada fracción y racionalizarla. Como es muy difícil escribir aquí, para abreviar un poco solo te explicaré los pasos, ¿vale?
PRIMERA FRACCIÓN:
........ 2
------------------
..... ______
... √2 + √3
Para racionalizar la primera fracción hay que multiplicar el numerador y el denominador por la misma raíz del denominador, o sea:
............ 2 · √(2 + √3)
------------------------------------ =
... [√(2 + √3)] · [√(2 + √3)]
...... 2√(2 + √3)
= ---------------------- =
...... [√(2 + √3)]²
Al elevar la raíz cuadrada del denominador al cuadrado, se elimina:
...... 2√(2 + √3)
= --------------------- =
......... 2 + √3
Ahora hay que racionalizar esta nueva fracción, para o cual multiplicamos el numerador y el denominador por la conjugada del denominador:
..... 2√(2 + √3) · (2 - √3)
= --------------------------------- =
....... (2 + √3) · (2 - √3)
En el denominador hay una diferencia de cuadrados:
..... 2√(2 + √3) · (2 - √3)
= --------------------------------- =
.............. 2² - (√3)²
Resolviendo los cuadrados:
...... 2√(2 + √3) · (2 - √3)
= ---------------------------------- =
................. 4 - 3
...... 2√(2 + √3) · (2 - √3)
= --------------------------------- =
................... 1
= 2√(2 + √3) (2 - √3) ◄ ....... (resultado parcial 1 - primera fracción)
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SEGUNDA FRACCIÓN:
........ 2
-----------------
..... _____
... √2 - √3
Repetimos exactamente el msmo proceso que acabamos de hacer. Para racionalizar la segunda fracción hay que multiplicar el numerador y el denominador por la misma raíz del denominador, o sea:
............ 2 · √(2 - √3)
= -------------------------------- =
.... [√(2 - √3)] · [√(2 - √3)]
....... 2√(2 - √3)
= --------------------- =
....... [√(2 - √3)]²
Al elevar la raíz cuadrada del denominador al cuadrado, se elimina:
......... 2√(2 - √3)
= ----------------------- =
............ 2 - √3
Ahora hay que racionalizar esta nueva fracción, para o cual multiplicamos el numerador y el denominador por la conjugada del denominador:
....... 2√(2 - √3) · (2 + √3)
= ----------------------------------- =
......... (2 - √3) · (2 + √3)
En el denominador hay una diferencia de cuadrados, que es la misma de la fracción anterior, solo que con los factores permutados (o sea, con el orden cambiado), por lo qeu el resultado del producto será el mismo. Recuerda que el orden de los factores o alterael producto (propiedad conmutativa de la multiplicación):
....... 2√(2 - √3) · (2 + √3)
= ---------------------------------- =
............... 2² - (√3)²
Resolviendo los cuadrados:
..... 2√(2 - √3) · (2 + √3)
= --------------------------------- =
................. 4 - 3
..... 2√(2 - √3) · (2 + √3)
= -------------------------------- =
.................... 1
= 2√(2 - √3) (2 + √3) ◄ ....... (resultado parcial 2 - segunda fracción)
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Si sumamos ambos resultados parciales obtenemos el resultado final:
__________________________________
| ...... ______ ................... ______ ............ |
| = 2√(2 + √3) (2 - √3) + 2√(2 - √3) (2 + √3) | ◄ ....... (resultado final)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
NOTA: Los 2 resultados son correctos, Sofi. Y hay todavía otro método de resolución, aplicando el cual se llega al simpático resultado 2√6, que también es equivalente al número decimal 4,89898. Si no hay una solución en tu libro según la cual guiarse, elige el método que más te guste o que más fácil te resulte. Yo creo que el primero es más fácil, más corto y más directo.
Besos. 😏
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